估算

估算是运用各种运算技巧所进行的快速近似计算，许多数学问题都可以通过估算界定范围，然后把满足条件的一一例举出来，常采用的方法有直接近似值和通过放大与缩小的方法确定范围，然后采取枚举等等。下面看几个例子。

例1:老师在黑板上写了13个自然数，让小颖算平均数（保留两位小数）小颖计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字是对的。正那确答案应该是多少呢？

分析：13个自然数之和必然是整数。由于此和不是13的整数倍，因而平均数是小数，又由于平均数精确到小数点后最后一位数，所以13个自然数之和必大于12.39的13倍，而小于12.5的13倍由此可以推算出精确的13个自然数的和。

解： 由12.39×13=161.07

       12.5×13=162.5

   得到13个自然数的和小于162.5大于161.07。所以13个自然数的和是162。

例2：哥哥对弟弟说：“到21世纪的x²年我恰好x岁。”问哥哥生于哪一年。

分析： 21世纪x²这一年的年份一定是这样的四位数：

(1)    前两位数是20：（2）一定是完全平方

解：  由于44²=1936,46²=2116。又1936﹤x²﹤2116，因此只有45²符合题意。

所以有，45²-45=1980。

   答：哥哥生于1980年。

例3:  8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少？

   分析：当两个数的和不变时，两数越接近（即差最小）它们的积越大。

   解：  由 8.03×1.22﹤8.02×1.23﹤8.01×1.24

         得8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22﹤8.01×1.24×3﹤8×1.25×3=30

           8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22﹥8×（1.24+1.23+1.22）=8×3.69=29.52

         所以所求的整数部分是29。

         答：所求整数部分是29。

       说明  在估算时，不等号常使解题过程更简练。

练习:

1         一个四位数6**6能被134整除，求这个四位数除以134的商？

2         已知x是自然数，并且x的5次方=229345007，求x.

3         任取一个四位数乘3456，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数之和，C表示B的各个位数之和，求C.

抽屉原理答案

练习：

1某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。

解：分析：从问题“有一个同学能借到两本或两本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有两个或两个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了它的抽屉中。

解：将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由抽屉原则知：要保证有一个抽屉中至少有两个苹果，苹果数应至少为40+1=41个。即：小书架上至少要有41本书。

2、从1，4，7……，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。

解：对这14个人按如下分组（1，40）；（4，37）；（7，34），（10，31）；（13，28）；（16，25）；（19，22）共7组，从这7组中任取8个数，则必有两数是从同一组中取出的所以它们的和是41

3、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。

解：四种颜色的小旗取出三面共可组成4×4×4=64种信号（注三面可以是同色的），则将200看作苹果，64种信号看作64个抽屉，由抽屉原则知至少有4个苹果在同一抽屉中，即至少有4个信号完全相同