顺难则逆

有些问题，要想从正面突破，往往十分麻烦，甚至不知从何入手，如果换个思考角度，从问题反面入手，常常会化难为易。这种换角度、另辟蹊径的思维方式称为顺难则逆。

如：在1～2008这2008个自然数中，不是100的倍数的自然数共有多少个？

  分析：这是一个简单的问题，但正着题意思考，即是将1～2008之中不是100的倍数的一个个挑出来，这样虽可行，但操作十分费时，若从反面“是100的倍数”去思考，将容易的多.

   从这2008个数中式100的倍数的自然数有：2008÷100=20……8，可知这2008个数中100的倍数有20个。所以，不是100倍数的就有2008-20=1998（个）。

 所以，学生应该突破“常规思维”桎梏，学一些非常规的思维方法，养成全方位思考的好习惯，提高思维的敏捷性，无疑是有益无害的。

桌上有八张扑克牌，其点数分别是1、2、3、4、5、6、7、8，甲、乙、丙三人每人从中取出两张。如果甲取出的点数之和是13，乙取出的两张点数之和是11，丙取出的两张点数之和是8，那么丙取出的两张的点数分别是多少？

思考：从1～8这八个数中，各取出两个数，使其和为8的取法有3中：1、7,2、6,3、5。解此题的途径有两种，其一是“尝试”法，其二是先不思考每人取出的是哪两张，而是先思考三个人取出后剩下的是哪两张。

解： 取出六张后，剩下两张的点数之和为

（1+2+3+……+8）-（13+11+8）=4

在这八个数中；两个数之和为4 的只有1和3，所以取出的六张不会有1和3，那么取出的六张为：2、4、5、6、7、8，其中，只有2和6之和为8，故丙取出的点数分别是2、6。

例2在1～13这十三个连续自然数中，选出其中十二个，分别填入图2方格内，使每横行的四个数之和相等，且没竖列的三个数之和也相等。那么，横行、竖列之和分别各是多少？并将选出的十二个数填入图中。

                                       图 2

思考 一般解答这样的问题，首先想到的试填，找出满足题目要求的十二个数，但这样做难于达到目的。若将“从十三个数中选出十二个满足条件的数“，反过来思考”这十三个数中不选的是哪个数“，这样就将找到十二个数，变成只找一个数。

解：假设已从1～13中选出满足题目要求的十二个数，分别填入了图2的小方格内。显然，这十二个数之和能被3整除，也能被4整除，即能被12整除。又

（1+2+3+……+13）÷12=91÷12=7……7

在这十三个被选的自然数中，只有7除以12的余数是7。所以，选出的十二个数中没有7，即这十二个数是

1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13

且这十二个数之和为 91-7=84

于是，横行四个数之和为：84÷3=28

竖立三个数之和是 ：84÷3=21

 由于21是奇数，填入的十二个自然数中有6个是奇数，因此必然有三个在一列，另三个各在一列。在所选的十二个自然数中，三个奇数之和为21 的只有1+9+11=21      3+5+13=21

下面给出两种填法（填法不唯一）

练习 1 从自然数中取出若干个数，使取出的数中任意两个之差都不是10的倍数。那么，最多可以取出多少个数？

2 有五张数字卡片，分别写有1、2、3、4、5这五个数，从中取出三张均可组成一个三位数。那么在所有组成的三位数中，不能被3整除的有多少个？

3 将19的数字填入下面44的方格中，每格内织田一个数字（数字可以重复使用）。填好后，从左到右，自上而下的读，可读出八个四位数，其中的七位四位数是：1726、1875、3865、3629、4133、3564、4318。那么，第八个四位数是多少?

年龄问题答案

1 父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子的2倍。父子年龄各是多少？

解：设孩子的年龄为X，那么父亲的年龄是5X。则依据题意列方程为：

（ X+15）2=15+5X

2X+30=15+5X

3X=15

         X=5

则儿子5岁，父亲25岁。

2  姐姐年龄比妹妹年龄的3倍多1岁，但妹妹5年后的年龄比姐姐3年前的年龄大1岁。求姐妹年龄各是多少岁？

解：设妹妹为X岁，则姐姐为3X+1岁。则：

5+X=3X+1-3+1

  2X=6

   X=3

所以，妹妹3岁，姐姐10岁

3  学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年多少岁？

解：设学生为x岁 

当老师x岁的时候 学生3岁 所以老师比学生大x-3岁

因为学生始终比老师小x-3岁

所以当老师39岁的时候 学生是39-(x-3) 这也就是老师现在的年龄

老师现在的年龄也是学生现在的年龄x加上与老师的年龄差x+x-3

所以老师的年龄=39-(x-3)=x+x-3 x=15 就是现在学生15岁

那么老师比学生大x-3=12岁   所以老师27岁。